Олимпиадные задания
Советы участнику олимпиады
- Внимательно прочитайте условия задач и определите порядок, в котором будете их решать (лучше начинать с легких задач, которые, как правило, размещены в начале).
- Если условие задачи можно понять по разному, то не выбирайте удобную для себя трактовку.
- Не зацикливайтесь на одной задаче. Если нет идеи решения, то задачу лучше (хотя бы на время) отложить.
- Решив задачу, сразу оформляйте решение. Это поможет проверить его правильность и освободит внимание для других задач.
- Каждый, даже очевидный, шаг решения нужно записывать.
1. (1 балл) В записи 1 * 2 * 3 * 4 * 5 звёздочки замените знаками математических действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
2. (2 балла) Гриша с папой пошёл в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?
3. (3 балла) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 7 и 4 (цифры в записи числа могут повторяться)?
4. (4 балла) Владимир не любил часто ездить в город, но в тот день он очень удачно отправился в путь. Он успел в банке получить денежный перевод, сходить в парикмахерскую к любимому мастеру, купить на рынке прекрасного щенка, да еще и к другу наведаться на часок. В какой же день недели Владимир ездил в город, если парикмахерская открыта только с понедельника по пятницу, банк не работает в понедельник, четверг и воскресенье, а на рынке щенков продают только после среды и до воскресенья?
5. (5баллов) У двух хозяев, держащих по лошади, есть поле, засеянное травой и разделенное на 7 участков. За один день выгула каждая лошадь выедает один участок. В первый день, приведя лошадей, хозяева договорились, что на следующий день только одна лошадь будет на поле, а через день снова две и т.д. Трава снова пригодна для выгула на пятый день после съедания. Укажите, в какой по счету день какой-то из лошадей не хватит участка с новой травой.
1. (1 балл) В записи 1 * 2 * 3 * 4 * 5 звёздочки замените знаками математических действий и расставьте скобки так, чтобы получилось выражение, значение которого равно 100.
2. (2 балла) Гриша с папой пошёл в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?
3. (3 балла) Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 7 и 4 (цифры в записи числа могут повторяться)?
4. (4 балла) Владимир не любил часто ездить в город, но в тот день он очень удачно отправился в путь. Он успел в банке получить денежный перевод, сходить в парикмахерскую к любимому мастеру, купить на рынке прекрасного щенка, да еще и к другу наведаться на часок. В какой же день недели Владимир ездил в город, если парикмахерская открыта только с понедельника по пятницу, банк не работает в понедельник, четверг и воскресенье, а на рынке щенков продают только после среды и до воскресенья?
5. (5 баллов) У двух хозяев, держащих по лошади, есть поле, засеянное травой и разделенное на 7 участков. За один день выгула каждая лошадь выедает один участок. В первый день, приведя лошадей, хозяева договорились, что на следующий день только одна лошадь будет на поле, а через день снова две и т.д. Трава снова пригодна для выгула на пятый день после съедания. Укажите, в какой по счету день какой-то из лошадей не хватит участка с новой травой.
1. (2 балла) Найти как можно больше разных трёхзначных чисел, не содержащих в записи цифры 9, таких, что при увеличении каждой их цифры на 1 произведение всех цифр числа увеличивается ровно вдвое и ни одно из этих чисел не получается из другого перестановкой цифр.
2. (4 балла) Машина движется со скоростью 80 км/час. С какой скоростью ей надо двигаться, чтобы 1 км проезжать на 15 секунд быстрее?
3. (4 балла) Сколько различных трёхзначных чисел, делящихся на 6, и не содержащих одинаковых цифр, можно составить из цифр 0, 4, 5, 6?
4. (6 баллов) Большой треугольник разбит тремя жирными отрезками на 4 треугольника и 3 четырёхугольника. Сумма периметров четырёхугольников равна 25 см, сумма периметров четырёх треугольников равна 20 см, периметр исходного большого треугольника равен 19 см. Найдите сумму длин трёх жирных отрезков. Ответ обосновать.
5. (8 баллов) Вдоль дороги длиной 60 км стоит несколько (больше одного) пеньков. Первый турист идёт по дороге со скоростью 5 км в час, у каждого пенька он останавливается и отдыхает одно и то же целое число часов. Второй турист едет по той же дороге на велосипеде со скоростью 12 км в час и отдыхает у каждого пенька в два раза дольше первого туриста. Вышли и пришли туристы одновременно. Сколько пеньков у дороги? Ответ обосновать.
1. (5 баллов) Торговец купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 10 рублей, либо три ручки за 20 рублей. При этом он в обоих случаях получает одинаковую прибыль (разницу между покупкой товара и его продажей). Какова оптовая цена ручки?
2. (5 баллов) В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла равна одному из двух отрезков, на которые она разделила противоположную сторону. Докажите, что она вдвое длиннее второго из этих отрезков.
3. (5 баллов) Докажите, что 4n3 + 6n2 + 5n + 9 при любом натуральном n делится на 3.
4. (5 баллов) Найдите сумму двух различных чисел, удовлетворяющих равенству a+b =b+a.
5. (5 баллов) Три ученика A, B и C участвовали в беге на 100 м. Когда A прибежал на финиш, B был позади него на 10 м, также, когда B финишировал, C был позади него на 10 м. На сколько метров на финише A опередил C?
6. (5 баллов) Лев и тигр могут съесть овцу за 2 часа 24 минуты, лев и волк ту же овцу могут съесть за 3 часа, а тигр и волк – за 4 часа. За сколько часов съедят овцу лев, тигр и волк вместе?
1. (5 баллов). Один рабочий может выполнить работу за 4 часа, а другой — за 6 часов. Сколько должен работать третий рабочий, чтобы сделать эту работу, если его производительность равна средней производительности первых двух.
2. (5 баллов). На какую цифру оканчивается число 32004 + 42005?
3. (5 баллов). Пассажир едет в поезде, который идет со скоростью 60 км/ч, и видит , что мимо окна проходит встречный поезд в течение 4 секунд. Какова скорость встречного поезда, если его длина равна 120 м?
4. (5 баллов). Найдите наименьшее значение выражения и значения x и y, при которых оно достигается |6x+5y+7| +|2x+3y+1|.
5. (5 баллов). Равнобедренная трапеция ABCD разбивается диагональю AC на 2 равнобедренных треугольника. Найти углы трапеции.
6. (5 баллов). Мне было задано пятизначное число. Если к цифровой записи данного числа справа приписать цифру 2 и, полученное таким образом, число разделить на число, полученное из данного приписыванием цифры 2 слева, то получится 3. Какое число мне было задано?
1. (5 баллов). Решите уравнение х2-2х+у2-4у+5=0.
2. (7 баллов). Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна наименьшему значению трёхчлена 2х2-4х+10. Найдите сумму 11 первых членов этой прогрессии.
3. (7 баллов). В окружность вписан прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ. На большем катете ВС взята точка D так, что АС=ВD, а точка Е – середина дуги АВ, содержащей точку С. Найдите угол DЕС.
4. (7 баллов). В «портфеле» у начинающего инвестора есть акции нескольких компаний. Если акции первой компании подорожают на 25%, а акции остальных компаний не изменятся в цене, то весь «портфель» подорожает на 15%. Если же акции второй компании подорожают на 25%, а акции остальных компаний не изменяться в цене, то весь «портфель» инвестора подорожает на 10%. Найдите, акции скольких компаний есть в «портфеле» начинающего инвестора, и наименьшую стоимость «портфеля» в начале, если цены акций могут быть только целыми числами.
